数学语境的时空之美

郑磊/文

人类生活的四维空间可以想象成一幅动图，我们能看到的最复杂形状是立体的，随着时间变化，这个物体会呈现出不同的样子。我们眼睛看到的，心里涌现的快乐，都来源于生活中的美。而音乐、数学、语言就是表现美的工具和载体。数学表现时空之美的工具就在公式和图形之中。

数学之美不容易被人们欣赏，一个重要原因是缺少通俗阐释和展现这种美的科普作品。彩色印刷的《迷人的图形》和《公式之美》巧妙地将自然界的美妙形态，用大众容易理解的几何图形和代数公式，短小有趣的轶事和高清晰度照片展示出来。两本书不仅提高大众审美，普及了数学知识，也有助于提升读者对数学的兴趣。

图形之美在于对称，公式之美在于简洁。方和圆大概是最早被人们认识的图形，而点、线、面和整数、分数、有理数、无理数这些则是高度抽象化的数学概念。古人在用直杆或巨石测量太阳的影子，确定白昼的时间变化时，几何学的勾股定理（在西方称作毕达哥拉斯定理）逐步成形。这种由三条边构成的特殊形状用公式表达为a^2+b^2=c^2。平方运算对应了正方形的大小，自然而然引出了一个问题：面积为2的正方形，边长是多大？记得在第一次碰到这个问题时，老师给出的答案是[~公式~]。这当然没错，但是没有任何意义，因为这只是一个记号。直到知道这个数字是一个有无限位数的小数，不能表示为两个整数的比值时，我们才学到了新知识——这是一个无理数。有几个无理数特别重要，里面藏着宇宙的秘密，它们就是圆周率π和欧拉公式里的e。

方形可以看作是两个直角三角形拼凑在一起，而圆形其实也可以从直角三角形延伸出来。公元前3世纪，阿基米德发现了直角三角形和圆形的关系：如果一条直角边和圆的半径等长，另一条直角边的长度和圆的周长相等，那么这个直角三角形的面积就和圆的面积一样大。这个认识来自对圆周长的测量。想象一下我们怎样测量一段弯曲的线，一个简单的方法就是用连接曲线两个端点的很短的直线段的长度近似代替，当这个线段取得足够短时，测量的误差会在可以接受的范围。所以我们在圆周上做出很多头尾相连的线段，然后和圆心连起来，就得到了很多个等腰三角形（每一个都可以分拆成两个直角三角形）。耐人寻味的是，中国古人的数学在当时也非常先进，成书于阿基米德年代之前的《九章算术》就用实例给出了圆面积计算方法。

从对圆周的测量开始，人类又发现了一个新思想——无限接近，这其实就是现代数学中“极限”概念的一个应用。微积分是高等数学的基础，但是很多人在学到极限概念时，已经觉得深奥难懂了。以圆周测量为例，当那种以圆心为顶点的三角形变成无穷多个时，三角形底边就会和圆周上的弧线完全重合。这个过程就是无限细分，是一个思想实验，把对方切成无限多的份数，然后再加总，就从大致等于上升到了精确相等。从极限可以引出微分和积分运算，用微分计算可以定义速度、加速度和力，从牛顿力学开始，在数学的帮助下，物理学走上了科学道路。

有“最美等式”之称的e^iπ+1=0最能体现数学简洁之美，数学上最重要的5个常数全部体现在一个公式之中，没有任何多余的数字或字母。它就像一行极为完美而简洁的诗句。三角函数、泰勒级数、概率论、群论、复变函数、电磁学、相对论、量子力学等等，无不源于这5个数字。而宇宙的终极秘密似乎隐藏在e和π之间的数字3左右，这个数字和黄金分割比例、斐波那契数列有关，我们看到的大到山川河流、海岸线，小到晶体、贝壳上的螺纹图案，都是分数维的几何图形，里面蕴藏着地球上万事万物生坏住灭的客观规律，有待人类彻底揭开谜底。

数学其实很有趣，关键是有好的学习方法，这正是常规数学教材最薄弱之处。人类用数学表述自然界是一个认知渐进发展的过程，有很多趣闻故事，几何数学和大自然现象之间存在着巧妙的关联。当把这一切串在一起时，就得到了一条璀璨夺目的美丽“珍珠项链”，这个过程也变成了审美享受，而不再是枯燥无味的由字母、图元素和数字组成的混合物了。再复杂的数学概念都可以推导其源头的简单概念，数字无非0和1，算法无非加减法。举个例子，乘除法是中级加减法，而微积分不过是高级的加减法而已。学习数学要掌握“降维”思维，立体几何通过投影转化为平面几何，一重和双重积分无非就是求面积或体积。理解了这些，数学不但不难，还涵括了宇宙万物之美。