蝴蝶、分形和“周期三”

（原标题：蝴蝶、分形和“周期三”）

文/姚斌

多年前，我第一次阅读上海译文出版社出版的詹姆斯·格雷克的《混沌：开创一门新科学》时，宛如读天书。此次，人民邮电出版社又出版了这本书，我重读了这本书，才认识到这本书既是混沌理论的基本读物，也是一部科学思想的编年史。混沌理论与相对论和量子力学被称为基础科学的三大革命。所谓的“混沌”指的是一种确定的系统中出现的无规则的运动。其研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现复杂问题普遍遵循的共同规律。混沌理论分别体现在蝴蝶效应、周期三蕴含混沌、分形几何以及吸引子和普适性等其他基本而重要的概念中。

■ “蝴蝶”扇动的龙卷风

混沌理论肇始于气象学家爱德华·洛伦兹的“蝴蝶效应”。1963年，洛伦兹利用计算机进行“数值天气预报”试验。他发现，只要输入的初始值存在细微的差异，计算的结果就会出现极大分别。基于这个发现和研究，洛伦兹于1972年12月发表了一次演说，题为《可预测性：一只在巴西翩翩起舞的蝴蝶可否在德克萨斯州引起龙卷风？》。演说的内容是，一只亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，两周后，可能在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。原因在于，蝴蝶翅膀的运动导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生，又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致天气系统的极大变化。

那时，洛伦兹制作了一个电脑程序的模拟图像。他发现，图像是混沌的，而且十分像一只张开双翅的蝴蝶，因而他形象地将这一图形以“蝴蝶扇动翅膀”的方式进行阐释。事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，即对初始值的极端不稳定性，因此称之为“混沌”，又称“蝴蝶效应”。蝴蝶效应是说，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。这就是“蝴蝶效应”。蝴蝶效应说明，事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差将导致结果的极大差异。

洛伦兹同时注意到，有许多随时间而发生某种变化的过程，如钟摆的摇动、山石的滚落和岸边海浪的破碎。它们中的一部分或许包括滚石和碎浪而钟摆除外，其变化并非随机却貌似随机。在洛伦兹看来，这就是一个混沌的过程：它们看起来是随机发生的，而实际上其行为却由精确的法则决定。在任何系统中对初始条件的敏感的依赖性所导致的直接结果之一是不能作准确预报，而对充分遥远的未来甚至连粗略预报都不可能。微小的改变可以导致整体行为上的显著变化。气候永远不会落入一个具有长期平均值的均衡。过去12,000年天气的平均值必然显著不同于再之前12,000年的平均值。这就是“蝴蝶”的表征。这也是格雷克在《混沌：开创一门新科学》中的第一章“蝴蝶效应”所展现的主题。用貌似羸弱的蝴蝶来象征“失之毫厘，差之千里”是一种合乎自然的选择。

一些科学家们也发现，和天气一样，许多迥异的领域都对初始条件具有敏感的依赖性。当市场呈现出一种非周期的、形如混乱的、貌似随机的状态时，它对于初始条件的依赖是十分敏感的，只要初始条件发生十分微小的变化，系统的状态随时间演变的轨道就会以指数速度发生分离。例如，证券交易所的行情在几个月的时间内保持稳定，却在一瞬间突然崩溃，曾经上万的投资者面临着破产。所谓的专家会用“心理因素”来解释实际上他们自己也不明白的股市狂泻的原因。但是，科学家们立即用“混沌”这个词来形容这些系统没有规律和无法预测的运作方式。实际上，交易所的交易情况充满了偶然因素和无人能够预见的突发影响，比如一个公司的破产会使股市大乱，一场自然灾害会损毁重要的输送管线。即使在将来，也没有一台计算机能计算这些因素。或许，投机商们最好还是追随自己野兽般的直觉来买卖股票。

洛伦兹的混沌系统是指敏感地依赖于初始条件的内在变化的系统：“初始条件的细小差异可能会最终导致迥异的结果……想要做出预测是不可能的，我们只能接受随机的结果。”过去许多经济学家都认为经济具有平衡状态，并且认为经济会稳定到这个状态。如果我们不插手经济的话，就不会有任何使人烦恼的经济周期。现在某些关注混沌的经济学家提出，经济学作为一个动力系统是混沌的，不规则间歇的经济周期是不可避免的。对经济进行干预可能压制这种周期，而不是产生这种周期，但是更可能的是缩短一些经济衰退而延长另一些衰退。

■ “分形几何”引发的涡流

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象。这个对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，比如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。因为分形几何学研究对象普遍存在于自然界中，所以它又被称为“大自然的几何学”。

分形几何学为20世纪70年代法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特所创立。那时，曼德尔布罗特在研究英国的海岸线有多长的问题。这个问题依赖于测量时所使用的尺度。若以公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；若改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。

分形几何学中的分形对象是由它们自身的很多缩小了的复制品组成的，它们在细节方面是自我重复的。分形对象可以是自然的产物，如树木、云彩和海岸线等。一个树枝看起来就大致如一颗缩小了的树木。再比如，生物体中动脉和静脉的分布形态本质上就是分形，它使得血液能够到达身体的每一处，同时避免动脉、静脉本身占据太多空间而使其他器官无容身之地。

在分形几何的世界里，如果在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动 ( 布朗运动 ) ，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞 ( 每秒钟多达十亿亿次 ) 下表现的平均行为。分形几何是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多不同尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态。

当曼德尔布罗特将理论引入金融市场时，可以说是对传统理论的一种颠覆。分形几何为我们描绘了一个与我们熟悉的金融市场完全不同的图像：开始时是平静的、一切都在有序的轨道上运行的混乱系统，然后被混乱的事件和股价的突然爆发所打断。在曼德尔布罗特的世界里，金融市场是一个混沌、无序、不确定和大量的统计怪物的中心，是纯粹的混沌世界。混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测。

传统理论认为，金融市场是一个受正态分布法则制约的世界。在股市，尽管存在极端的股价波动，但很少发生，有些像统计上的奇怪现象，与其说是现实的威胁，不如说是理论上的怪人秀。大多数股价波动在我们看来都好像属于“正常”的范围内，金融市场也会出现一个类似的、统计学的正态分布，即有很多小幅度的股价波动，以及很少大的股价波动。因此，在传统理论看来，情况十分正常，貌似可以预测，并且可以掌控。

但是，在分形几何学中，金融市场并非如此，它充满了涡流，其运动不是正态分布的，而是混乱和不可预测的。如果这种假设是正确的话，那么金融市场就比常规理论承认的要更具风险，而对这种狂暴的、没有约束的波动进行预测或多或少都是不可能的。事实上，以往的数据也证实了他的看法。在很多事件中，价格波动比我们在统计学的正态分布下可期待的、典型的小的和平均的价格变动要大十倍。

■ “周期三蕴含混沌”的隐喻

20世纪60-70年代，数学家詹姆斯·约克和他的博士生李天岩共同发现了“周期三蕴含混沌”的现象。“周期三”即“周期为三的点”。一个过程如果接连使用三次，又回到初始状态，这就是“周期三”现象。比如，三个人玩皮球，A把球抛给B，B将球抛给C，C又把球抛给A。这就完成了一个周期三循环。约克和李天岩通过迭代函数的迭代性质研究发现，当出现三个周期的时候，任何周期就都可能实现。而仅仅“周期一”或“周期二”点的存在并不引起一些波澜壮阔的事发生。

约克和李天岩的伟大发现是，只要有一个“周期三点”出现，就有数不清的初始点的“混沌轨道”出现，而且这些轨道的未来走向是不可预测的。也就是说，当函数有了周期为三的点，它必定是一个非线性并且也是非单调的函数；它的函数图像上可以有山峰，也可以有山谷。于是，一片姹紫嫣红、气象万千，一派“混沌”的满园春色就出现了。“周期三蕴含混沌”深刻地揭示了混沌现象的本质特征。约克和李天岩首创了“混沌”这一数学名词，开拓了整个数学界、科学界对混沌动力系统理论和应用研究的新纪元。

只有少数人理解大自然的本质是何等非线性的。恩里科·费米有一次便感慨道，圣经中并没有说，所有自然法则都能被线性表示。数学家斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆则称混沌研究为“非线性科学”，就好比称动物学为“关于非大象动物的研究”。约克对此理解是“无序无处不在”。约克相信科学和非科学家都一样，如果对复杂性没有恰当理解，他们就很容易让自己误入歧途。为什么投资者坚持认为黄金和白银的价格具有周期性？因为周期性是他们能够想象的最复杂的有序行为，当他们看到一个复杂的价格变动模式时，他们会自然而然地去寻找某些隐藏在些许随机噪声背后的周期性。

黄欣荣教授在《复杂性科学与哲学》中认为，“三”是代表着非线性作用的最小要素数目。而“二”不能生万物。这就是非线性科学的结论。几乎凡是能够具有放大效应的事物，皆与“三”有关，“三”是非线性和复杂性的标志。有趣的是，体育界所谓的“三振出局”源自棒球运动在两击之后的情况。如果击球员被判“三振出局”，或者说“三击不中”，就将接杀出局。

在投资领域，也以“三振出局”隐喻投资失败。霍华德·马克斯的《投资最重要的事》中指出，再也没有比在崩盘期间从不顾价格必须卖出的人手中买进更好的事了。我们许多最好的交易都是在这时候完成的。这样的事只在罕见的极端危机时才会出现。既然从强制卖家手中买进是世界上最美妙的事，那么保证自己能够在最艰难的时期坚持住是非常重要的。

最好的投资者需要具备以下特征：敬畏投资、要求物有所值和高错误边际，知所不知，知所不能。防守能取得较好的稳定收益，当然也会错过热门并且越来越热门的东西，它会让你无所事事。你可能比其他投资者打出更少的本垒打，但是你被三振出局或双杀出局的可能性也会更少。如果不犯错误，致胜投资自然来。所谓的进攻是通过风险承担争取致胜，但这是一个高强度活动。它可能会带来收益，也可能带来损失。捕鱼的水域挑战性越大，潜在收益越大，越有可能吸引经验丰富的渔夫。一个投资者除非掌握的技术具备充分的竞争力，否则极有可能成为牺牲者而不是胜利者。因此，一定不要主动进攻、承担风险、碰触有技术挑战性的领域。

霍华德·马克斯在过去35年里注意到最奇怪的事情之一是，那些“最优秀”投资者的投资生涯都非常短暂。他们原想“本垒打”却被“三振出局”而消失。确实，投资的一个困难在于，你认为你的决策很正确，但却无法通过结果来判断。好决策指的是决策当时的最佳决策。然而，考虑到分形的结果，影响决策正确性的事件事先是无法预知或量化的。因此，正确的决策往往是不成功的，反之亦然。当我们将周期三蕴含混沌理论植入马克斯的论断时，就会获得一个深刻的洞见。